Dalam matematika soal masih menjadi "sesuatu" yang paling dibenci (mungkin), tapi juga paling banyak diminati. Untuk itulah bagi para siswa sekalian yang membutuhkan soal - soal, baik soal UN, SPMB, SNMPTN, UM UGM, dan ujian2 masuk perguruan tinggi favoritmu, telah Dara sediakan. Kalian tinggal download. Untuk soal2 ujian masuk perguruan tinggi tersedia jenis kemampuan dasar dan IPA. Pembahasan dan kuncinya juga telah disiapkan. Jadi tunggu apalagi ... langsung download aja di blognya Dara.
18 Oktober 2009
16 Oktober 2009
Lomba Inovasi Matematika MA
Informasi lomba pembelajaran matematika bagi guru Madrasah Aliyah se-Indonesia Balai Diklat Depag RI:
Sumber: Depag RI
14 Oktober 2009
Math Activity 3 - Mencari Luas Lingkaran
Ketemu lagi dengan Dara. Sekarang kita akan mencari luas lingkaran. Luas lingkaran dapat dicari dengan melakukan suatu kegiatan. Alat dan bahan yang dibutuhkan adalah: kertas berwarna (diharapkan dapat lebih menarik perhatian siswa), jangka, gunting, dan alat tulis.
Setelah alat dan bahan telah tersedia, kita dapat mengikuti langkah – langkah berikut:
1. Karena objek kita adalah lingkaran, maka pertama – tama tentu kita membuat sebuah lingkaran dengan diameter sembarang.
2. Lipatlah lingkaran, sehingga lingkaran terbagi menjadi 2 bagian yang sama.
Garis yang terbentuk di antara dua lipatan merupakan diameter.
3. Lipat kembali bentuk yang diperoleh pada langkah kedua, sehingga bentuk pada langkah kedua menjadi 2 bagian yang sama.
Garis yang terbentuk dari lipatan di atas adalah jari – jari.
lipat lagi …
lipat lagi …
4. Buka lipatan, sehingga terbentuk 16 segitiga.
5. Setelah lipatan dibuka kembali ke bentuk asal, akan terlihat garis – garis lipatan, yang ternyata membentuk 16 segitiga. Berilah nomor dari 1 sampai 16 pada tiap – tiap bagian segitiga.
6. Guntinglah segitiga – segitiga tersebut, sehingga terlihat seperti pada gambar berikut:
Menjadikan lingkaran ke beberapa segitiga bermaksud agar diperoleh sebuah bidang datar baru yang tersusun dari keenam belas segitiga tersebut. Ada beberapa bidang datar yang dapat dibentuk, agar lebih mudah dalam membuktikan luas lingkaran, maka bidang datar yang terbentuk tentu saja adalah bidang datar yang telah diketahui rumus dalam mencari luasnya.
7. Susunlah segitiga – segitiga yang ada sehingga membentuk sebuah bidang datar (dalam hal ini bidang datar yang terbentuk adalah jajaran genjang), seperti pada gambar berikut:
8. Ambil satu segitiga sembarang, misal segitiga bernomor 16. Gunting segitiga tersebut sehingga terbagi menjadi 2 bagian yang sama.
9. Tempatkan masing – masing bagian segitiga bernomor 16 di setiap ujung jajaran genjang yang ada, sehingga akan terbentuk persegipanjang. Proses pengubahan dari jajaran genjang ke persegipanjang, dengan asumsi bahwa rumus mencari luas untuk persegipanjang diketahui seluruh siswa.
Panjang dari persegipanjang tidak lain adalah setengah keliling lingkaran.
Keliling lingkaran adalah: 2πr, dimana r adalah jari – jari lingkaran.
Sehingga keliling setengah lingkaran tidak lain adalah πr.
10. Hitung luas persegipanjang dengan rumus:
Luas = panjang x lebar
lebar persegipanjang tidak lain adalah jari – jari (r).
= πr x r = πr^2
Luas persegipanjang tidak lain adalah luas lingkaran.
Jadi, luas lingkaran = πr^2.
Setelah alat dan bahan telah tersedia, kita dapat mengikuti langkah – langkah berikut:
1. Karena objek kita adalah lingkaran, maka pertama – tama tentu kita membuat sebuah lingkaran dengan diameter sembarang.
2. Lipatlah lingkaran, sehingga lingkaran terbagi menjadi 2 bagian yang sama.
Garis yang terbentuk di antara dua lipatan merupakan diameter.
3. Lipat kembali bentuk yang diperoleh pada langkah kedua, sehingga bentuk pada langkah kedua menjadi 2 bagian yang sama.
Garis yang terbentuk dari lipatan di atas adalah jari – jari.
lipat lagi …
lipat lagi …
4. Buka lipatan, sehingga terbentuk 16 segitiga.
5. Setelah lipatan dibuka kembali ke bentuk asal, akan terlihat garis – garis lipatan, yang ternyata membentuk 16 segitiga. Berilah nomor dari 1 sampai 16 pada tiap – tiap bagian segitiga.
6. Guntinglah segitiga – segitiga tersebut, sehingga terlihat seperti pada gambar berikut:
Menjadikan lingkaran ke beberapa segitiga bermaksud agar diperoleh sebuah bidang datar baru yang tersusun dari keenam belas segitiga tersebut. Ada beberapa bidang datar yang dapat dibentuk, agar lebih mudah dalam membuktikan luas lingkaran, maka bidang datar yang terbentuk tentu saja adalah bidang datar yang telah diketahui rumus dalam mencari luasnya.
7. Susunlah segitiga – segitiga yang ada sehingga membentuk sebuah bidang datar (dalam hal ini bidang datar yang terbentuk adalah jajaran genjang), seperti pada gambar berikut:
8. Ambil satu segitiga sembarang, misal segitiga bernomor 16. Gunting segitiga tersebut sehingga terbagi menjadi 2 bagian yang sama.
9. Tempatkan masing – masing bagian segitiga bernomor 16 di setiap ujung jajaran genjang yang ada, sehingga akan terbentuk persegipanjang. Proses pengubahan dari jajaran genjang ke persegipanjang, dengan asumsi bahwa rumus mencari luas untuk persegipanjang diketahui seluruh siswa.
Panjang dari persegipanjang tidak lain adalah setengah keliling lingkaran.
Keliling lingkaran adalah: 2πr, dimana r adalah jari – jari lingkaran.
Sehingga keliling setengah lingkaran tidak lain adalah πr.
10. Hitung luas persegipanjang dengan rumus:
Luas = panjang x lebar
lebar persegipanjang tidak lain adalah jari – jari (r).
= πr x r = πr^2
Luas persegipanjang tidak lain adalah luas lingkaran.
Jadi, luas lingkaran = πr^2.
Bagaimana, menarik bukan?
Sampai ketemu lagi dengan Dara ....
Oh ya. Semua gambar milik Dara Collection, jadi kalo ada yang mau pake harus ijin. Dara ga ikhlas dunia akhirat kalo ga ijin.
Bersambung .....
Nama Saya 38
Nama Saya 38
Permainan ini, hampir sama dengan persegi ajaib, hanya berbentuk kumpulan dari segienam. Seperti pada gambar berikut:
Kenapa permainan ini bernama “Nama Saya 38”. Ini dikarenakan, kita harus dapat menyusun angka – angka dari 1, 2, 3, 4, sampai 16, sehingga jumlahnya sama dengan 38. Jumlah ini harus sama untuk tiap baris, kolom, dan diagonalnya. Ada yang bisa menjawab?
13 Oktober 2009
Resensi Buku - Keajaiban Alqur'an
Resensi Buku
Judul : Keajaiban Al-Quran
Pengarang : Harun Yahya
Alih Bahasa : Rini N. Badriah/Ary Nilandari
Penerbit : Arkan (Sygma Group Publishing)
Ukuran : 15,5 X 23 cm (194 halaman)
Nama Harun Yahya tampaknya sudah tidak asing lagi di telinga kaum Muslimin. Terlebih mereka yang menyukai, atau mungkin mendalami dunia sains Islami. Kita dapat menyaksikan karya-karya Harun Yahya yang dipopulerkan dalam bentuk buku maupun kepingan VCD. Kita pun dapat menikmati sains –yang biasanya dipahami dengan kening yang berkerut- secara lebih asyik dan menyenangkan. Lebih dari itu, pemaparan dan penjelasan sains ala Harun Yahya senantiasa menyertakan suatu hal, yakni mendekatkan kita dengan Sang Khalik. Ya, di balik semua peristiwa yang terjadi dalam alam semesta ini, ada kekuasaan Allah Yang Maha Pengatur.
Dalam pada itu, dewasa ini kita masih menyaksikan sebagian orang –yang rendah pengetahuan keislamannya- beranggapan bahwa Al-Quran adalah sekedar kumpulan cerita-cerita kuno yang tidak mempunyai manfaat yang signifikan terhadap kehidupan modern, apalagi jika dihubungkan dengan kemajuan Iptek.. Al-Quran menurut mereka cukuplah dibaca untuk sekadar mendapatkan pahala bacaannya.
Pendapat tersebut jelas keliru. Allah Swt menurunkan Al-Quran sebagai petunjuk bagi manusia. Allah Swt telah memerintahkan manusia untuk memikirkan alam semesta (lihat Q.S Ali Imran: 190-192) dan mengambil berbagai hukum serta manfaat darinya. Ketika Al-Quran berbicara tentang manusia, tumbuhan ataupun makhluk lain, ia pasti berbicara tentang hakikatnya. Manusia baru mengetahui setelah sains dan peralatan-peralatan canggih digunakan melalui penelitian-penelitian ilmiah. Itulah makna Al-Quran mendahului sains modern, sekaligus sebagai bukti mukjizat Al-Quran pada masa kemajuan teknologi yang semakin menegaskan bahwa ia adalah kalamullah yang tidak sedikitpun mengandung kesalahan
Dalam buku Keajaiban Al-Quran, Harun Yahya semakin tegas “membuktikan” keajaiban Al-Quran sebagai mukjizat yang diturunkan Allah Swt, melalui penemuan-penemuan ilmiah oleh para pakar di bidang sains.
Misalnya tentang Keseimbangan Sempurna di Jagat Raya, yang digambarkan oleh Allah Swt dalam Q.S Al-Mulk, 67, ayat 3-4. Di alam semesta, konsep kecepatan mencapai dimensi raksasa dibandingkan pengukuran skala bumi. Bintang, planet, galaksi, dan kumpulan galaksi –yang sifat numeriknya hanya bisa dipahami oleh ahli matematika- mempunyai berat miliaran atau triliunan ton dan bergerak di angkasa dengan kecepatan luar biasa. Sebagai contoh, bumi berotasi pada kecepatan 1.670 km/jam. Jika kita ingat bahwa peluru yang paling cepat dewasa ini bergerak sekitar 1.800 km/jam, kita bisa membayangkan betapa cepatnya bumi bergerak meskipun bobot dan ukurannya sangat besar. Kecepatan bumi mengorbit matahari sekitar 60 kali kecepatan peluru: 108.000 km/jam. Sedangkan angka untuk tata surya bahkan jauh lebih mencengangkan. Kecepatan tata surya sedemikian rupa sehingga melampaui penalaran: semakin besar sistem di jagat raya, semakin tinggi kecepatannya. Jelas bahwa risiko tubrukan sangat besar dalam sistem yang begitu rumit dan bergerak cepat. Akan tetapi, tidak pernah ada kejadian semacam itu dan kita bisa melanjutkan hidup dengan aman. Hal ini karena segala sesuatu di jagat raya berfungsi mengikuti keseimbangan tanpa cacat yang ditetapkan oleh Allah. Karena itulah, sebagaimana dinyatakan dalam ayat di atas, tidak ada “ketidaksesuaian” dalam sistem. (Hal 13-14).
Selain Keseimbangan Sempurna dan Keselarasan Alam Semesta, buku setebal 194 halaman ini, membahas tentang Langit, sebagai Atap yang Terpelihara (Hal 37-42), Gunung-gunung yang Bergerak dan Tanah yang Hilang di Ujung-ujung Bumi (Hal 49-56), Keajaiban Besi (Hal 58-62), dan Pembakaran Tanpa Api (Hal 78-80). Tak kalah menarik, Biomimetik: Inspirasi-inspirasi dari Makhluk Hidup. Ada juga cerita tentang keajaiban pada lebah; ikan dan manfaatnya untuk kesehatan jantung, pembuluh nadi, dan perkembangan bayi yang baru lahir. Sebuah buku yang tidak saja melengkapi wawasan Anda tentang makhluk hidup dan penciptaannya, melainkan juga akan mendekatkan diri pada Sang Pencipta. Buku yang akan menambah nutrisi keimanan akan kebenaran Al-Quran sebagai mukjizat terbesar sepanjang hayat (Dikie Muqoddas, Product Research & Development Dept. Head Sygma Group Publishing).
Judul : Keajaiban Al-Quran
Pengarang : Harun Yahya
Alih Bahasa : Rini N. Badriah/Ary Nilandari
Penerbit : Arkan (Sygma Group Publishing)
Ukuran : 15,5 X 23 cm (194 halaman)
Nama Harun Yahya tampaknya sudah tidak asing lagi di telinga kaum Muslimin. Terlebih mereka yang menyukai, atau mungkin mendalami dunia sains Islami. Kita dapat menyaksikan karya-karya Harun Yahya yang dipopulerkan dalam bentuk buku maupun kepingan VCD. Kita pun dapat menikmati sains –yang biasanya dipahami dengan kening yang berkerut- secara lebih asyik dan menyenangkan. Lebih dari itu, pemaparan dan penjelasan sains ala Harun Yahya senantiasa menyertakan suatu hal, yakni mendekatkan kita dengan Sang Khalik. Ya, di balik semua peristiwa yang terjadi dalam alam semesta ini, ada kekuasaan Allah Yang Maha Pengatur.
Dalam pada itu, dewasa ini kita masih menyaksikan sebagian orang –yang rendah pengetahuan keislamannya- beranggapan bahwa Al-Quran adalah sekedar kumpulan cerita-cerita kuno yang tidak mempunyai manfaat yang signifikan terhadap kehidupan modern, apalagi jika dihubungkan dengan kemajuan Iptek.. Al-Quran menurut mereka cukuplah dibaca untuk sekadar mendapatkan pahala bacaannya.
Pendapat tersebut jelas keliru. Allah Swt menurunkan Al-Quran sebagai petunjuk bagi manusia. Allah Swt telah memerintahkan manusia untuk memikirkan alam semesta (lihat Q.S Ali Imran: 190-192) dan mengambil berbagai hukum serta manfaat darinya. Ketika Al-Quran berbicara tentang manusia, tumbuhan ataupun makhluk lain, ia pasti berbicara tentang hakikatnya. Manusia baru mengetahui setelah sains dan peralatan-peralatan canggih digunakan melalui penelitian-penelitian ilmiah. Itulah makna Al-Quran mendahului sains modern, sekaligus sebagai bukti mukjizat Al-Quran pada masa kemajuan teknologi yang semakin menegaskan bahwa ia adalah kalamullah yang tidak sedikitpun mengandung kesalahan
Dalam buku Keajaiban Al-Quran, Harun Yahya semakin tegas “membuktikan” keajaiban Al-Quran sebagai mukjizat yang diturunkan Allah Swt, melalui penemuan-penemuan ilmiah oleh para pakar di bidang sains.
Misalnya tentang Keseimbangan Sempurna di Jagat Raya, yang digambarkan oleh Allah Swt dalam Q.S Al-Mulk, 67, ayat 3-4. Di alam semesta, konsep kecepatan mencapai dimensi raksasa dibandingkan pengukuran skala bumi. Bintang, planet, galaksi, dan kumpulan galaksi –yang sifat numeriknya hanya bisa dipahami oleh ahli matematika- mempunyai berat miliaran atau triliunan ton dan bergerak di angkasa dengan kecepatan luar biasa. Sebagai contoh, bumi berotasi pada kecepatan 1.670 km/jam. Jika kita ingat bahwa peluru yang paling cepat dewasa ini bergerak sekitar 1.800 km/jam, kita bisa membayangkan betapa cepatnya bumi bergerak meskipun bobot dan ukurannya sangat besar. Kecepatan bumi mengorbit matahari sekitar 60 kali kecepatan peluru: 108.000 km/jam. Sedangkan angka untuk tata surya bahkan jauh lebih mencengangkan. Kecepatan tata surya sedemikian rupa sehingga melampaui penalaran: semakin besar sistem di jagat raya, semakin tinggi kecepatannya. Jelas bahwa risiko tubrukan sangat besar dalam sistem yang begitu rumit dan bergerak cepat. Akan tetapi, tidak pernah ada kejadian semacam itu dan kita bisa melanjutkan hidup dengan aman. Hal ini karena segala sesuatu di jagat raya berfungsi mengikuti keseimbangan tanpa cacat yang ditetapkan oleh Allah. Karena itulah, sebagaimana dinyatakan dalam ayat di atas, tidak ada “ketidaksesuaian” dalam sistem. (Hal 13-14).
Selain Keseimbangan Sempurna dan Keselarasan Alam Semesta, buku setebal 194 halaman ini, membahas tentang Langit, sebagai Atap yang Terpelihara (Hal 37-42), Gunung-gunung yang Bergerak dan Tanah yang Hilang di Ujung-ujung Bumi (Hal 49-56), Keajaiban Besi (Hal 58-62), dan Pembakaran Tanpa Api (Hal 78-80). Tak kalah menarik, Biomimetik: Inspirasi-inspirasi dari Makhluk Hidup. Ada juga cerita tentang keajaiban pada lebah; ikan dan manfaatnya untuk kesehatan jantung, pembuluh nadi, dan perkembangan bayi yang baru lahir. Sebuah buku yang tidak saja melengkapi wawasan Anda tentang makhluk hidup dan penciptaannya, melainkan juga akan mendekatkan diri pada Sang Pencipta. Buku yang akan menambah nutrisi keimanan akan kebenaran Al-Quran sebagai mukjizat terbesar sepanjang hayat (Dikie Muqoddas, Product Research & Development Dept. Head Sygma Group Publishing).
Al-Kharizmi
“Setiap bentuk penemuan baru adalah suatu bentuk matematika, oleh karena tidak ada pedoman yang kita miliki”
(Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other guidance we can have)
C. G. Darwin
Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
(780 – 850)
Riwayat
Di bawah pemerintahan tiga raja dinasti Abbasid – al Mansur, Harun al-Rashid dan al-Mamun, terjadi masa keemasan Irak. Istilah Arabian Nights tercetus pada masa Harun al-Rashid. Bahkan al-Mamun bermimpi dapat menghadirkan kembali pemikir kaliber Aristoteles di Bagdad.
Seperti yang sudah disebutkan pada pengantar, ada dua ilmuwan yang “bertugas” mengalihbahasakan karya-karya ilmiah di Graha Kebijaksanaan (The House of Wisdom), di mana salah satunya adalah al-Khwarizmi. Buku karyanya mampu yang mencetuskan kata aljabar dan membuatnya menjadi ilmu yang legendaris. Riwayat al-Khwarizmi tidaklah terlalu jelas diketahui orang. Tidak banyak catatan dan asal-usulnya yang diketahui oleh orang kebanyakan, tak terkecuali ahli sejarah.
Nama al-Khwarizmi memberi indikasi bahwa dia berasal dari Khwarizm, sebelah selatan laut Aral, Asia tengah. Ahli sejarah, al-Tabari memberi tambahan julukan “al-Qutrubbulli”, yang memberi indikasi bahwa al-Khwarizmi berasal dari Qutrubbull, yaitu daerah antara sungai Tigris dan sungai Eufrat yang letaknya tidak jauh dari Bagdad.
Karya besar al-Khwarizmi
Sudah dapat dipastikan bahwa Al-Khwarizmi bekerja pada saat berkuasanya al-Mamun dan dia mempersembahkan dua karyanya untuk Kalifah tersebut. Karya besar di bidang aljabar dan karya besar di bidang astronomi. Hisab al-jabr w’al-muqabala adalah karyanya di bidang aljabar yang sangat terkenal dan sangat penting. Judul karya itu menunjuk kata “aljabar” adalah istilah pertama yang kemudian akan dipakai sampai sekarang. Tujuan dan pesan yang ingin disampaikan oleh buku ini, seperti yang disebutkan dalam buku terjemahan Rosen, adalah mencari cara termudah dan paling bermanfaat dari aritmatika.
“Setiap hari orang berkutat dengan kasus-kasus yang menyangkut warisan, pembagian harta, kasus-kasus hukum, perdagangan, dan semua perjanjian yang terjadi antara pribadi misal: mengukur lahan, menggali sungai, menghitung luas bidang geometri tertentu dan bermacam-macam perhitungan lainnya.”
Kita semua jadi maklum bahwa isi teks aljabar ini dimaksudkan untuk kepentingan praktis dan aljabar diperkenalkan untuk menyelesaikan problem-problem yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dalam lingkup kerajaan Islam pada jaman itu. Pengantar buku ini memberi gambaran tentang bilangan-bilangan asli (natural number), dimana bagi mereka yang tidak fasih dengan sistem ini tampak menggelikan, namun inti penting yang ingin disampaikan adalah pemahaman baru tentang abstraksi seperti dinyatakan dalam kalimat di bawah ini.
Ketika orang mulai melakukan penghitungan mereka selalu menggunakan angka. Angka terdiri dari satuan-satuan, dan setiap angka dapat dibagi menjadi satuan-satuan. Setiap angka diekspresikan dengan satu sampai sepuluh, setelah sepuluh digandakan, dikalikan tiga sehingga terdapat dua puluh, tiga puluh dan seterusnya hingga seratus. Seratus digandakan, dikalikan tiga dengan cara yang sama sampai akhirnya sampai pada kesimpulan bahwa bilangan itu tak terbatas.
Aksioma
Karya Aljabar dari al-Khwarizmi diawali dengan pengertian prinsip-prinsip bilangan dan memberikan solusi. Terdiri dari enam bab yang terbagi menjadi enam tipe persamaan yang mencakup tiga jenis operasi: akar, kudrat dan bilangan (x, x² dan bilangan).
Semua solusi atau penyelesaian [penyederhanaan] suatu bentuk persamaan (linier atau kuadrat), terlebih dahulu harus dijadikan salah satu dari 6 bentuk baku seperti di bawah ini.
1. Kuadrat-kuadrat identik dengan akar-akar
2. Kuadrat-kuadrat identik dengan bilangan-bilangan
3. Akar-akar identik dengan bilangan-bilangan
4. Kuadrat-kuadrat dan akar-akan identik dengan bilangan-bilangan (misal: x² + 10x = 39)
5. Kuadrat-kuadrat dan bilangan-bilangan identik dengan akar-akar (misal: x² + 21 = 10x)
6. Akar-akar dan bilangan-bilangan identik dengan kuadrat-kuadrat (misal: 3x + 4 = x²).
Penyederhaan ini menggunakan dua operasi/cara yang disebut dengan al-jabr dan al-muqabala. Istilah “al-jabr” berarti “menyelesaikan” yaitu proses menghilangkan bentuk negatif/minus dari suatu persamaan. Salah satu contoh yang dikemukakan oleh al-Khwarizmi, “al-jabr” mengubah x² = 40x – 4x² menjadi 5x² = 40x. Istilah “al-muqabala” berarti “menyeimbangkan” yaitu proses mengelompokkan jenis/notasi yang sama, pangkat yang sama apabila terdapat pada ruas kanan maupun ruas kiri dalam suatu persamaan. Contoh, dua aplikasi al-muqabala adalah menyederhanakan 50 + 3x + x² = 29 + 10 x menjadi 21 + x² = 7x (aplikasi pertama terkait dengan bilangan-bilangan dan aplikasi kedua terkait dengan akar)
Aplikasi aksioma
Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menggunakan keenam persamaan di atas untuk menggabungkan solusi methode aljabar dan methode geometri. Sebagai contoh untuk memecahkan persamaan x² + 10x = 39, dia menuliskan prosedur:
… Suatu akar kuadrat ditambah 10 sama dengan 39 unit, yang dapat dijabarkan ke dalam bentuk persamaan: apa yang akan terjadi apabila suatu kuadrat ditambah 10 akan diperoleh 39?. Cara untuk mengurai persamaan ini digambil dari salah satu aksioma di atas. Sumber problem adalah angka 10. Ambil angka 5, dan kuadratkan diperoleh 25, ditambah dengan 39 diperoleh 64. Akar dari angka ini adalah 8, kurangilah dengan angka awal, 5, diperoleh sisa 3. Angka 3 adalah hasil akar, jika dikuadratkan diperoleh 9. Luas bujur sangkar adalah 9.
Pembuktian geometrik dapat dilakukan dengan cara di bawah ini. Al-Khwarizmi mulai dengan mengandaikan sisi bujur sangkar adalah x dan luas bujur sangkar adalah x² (gambar 1). Bujur sangkar itu kita tambah dengan 10x yang dilakukan dengan menambahkan secara sama terhadap keempat sisinya, dimana masing-masing 10/4 atau 5/2 dengan lebar x pada setiap sisinya (gambar 2). Bidang diarsir (Gambar 3) mempunyai luas x² + 10x, dimana sama dengan 39. Kita melengkapi agar bentuk bujur sangkar menjadi lengkap dengan 4 bujur sangkar kecil yang luasnya sama, masing-masing 5/2 × 5/2 = 25/4. Luas bujur sangkar (gambar 3) adalah 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. Panjang sisi bujur sangkar adalah akar 64 atau sama dengan 8. Apabila sisi bujur sangar adalah 8, dimana 5/2 + x + 5/2 atau x + 5 = 8, diperoleh x = 3.
Pembuktian geometrik di atas menjadi sumber polemik diantara para matematikawan. Tampaknya al-Khwarizmi memahami Element dari Euclid, karena secara tidak langsung penyelesaian itu mirip dengan yang termaktub dalam karya Euclid. Dalam masa pemerintahan Harun al-Rashid, ketika Khwarizmi masih muda, al-Hajjaj ditugaskan mengalihbahasakan Element Euclid ke dalam bahasa Arab. Al-Hajjaj tidak lain adalah rekan al-Khwarizmi di Graha Kebijaksanaan. Itu adalah pendapat bagi yang melihat bahwa karya al-Khwarizmi adalah penjabaran dari Euclid. Pendapat lain menyebut bahwa tidak ada difinisi, aksioma, postulat atau contoh-contoh seperti yang diuraikan oleh Euclid sehingga tidak dapat menggolongkan al-Khwarizmi sebagai pengikut Euclid. Pendukung pendapat kedua mengemukakan hukum aritmatika dengan obyek-obyek aljabar. Sebagai contoh, Khawarizmi menunjukkan bagaimana melakukan perkalian untuk ekspresi seperti:
(a + bx) (c+dx)
Meskipun tidak ada narasi untuk mengekspresikannya dan tidak ada simbol yang digunakan, tapi di sini tersirat konsep aljabar dengan akurasi tinggi: teori linier dan kuadratik dengan satu bilangan tidak diketahui. Dari sini aljabar dapat dipandang sebagai teori persamaan. Lebih lanjut al-Khwarizmi memberikan penerapan dan contoh seperti mencari luas bidang lingkaran, silinder, kerucut dan piramida.
Al-Khwarizmi juga menulis sistem bilangan Hindu-Arabik. Karya ini menggambarkan Hindu mempunyai sistem bilangan berbasis 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 dan 0. Pertama kali menggunakan angka nol dirintis olehnya.
Karya-karya lainnya
Karya al-Kwarizmi lainnya adalah dalam bidang astronomi. Topik utama yang disajikan dalam buku “Sindhind zij” adalah kalender; menghitung posisi matahari, bulan dan planet-planet; tabel sinus dan tangen; tabel astrologi; memprakirakan terjadinya gerhana. Karya lain adalah di bidang geologi yang memberi garis lintang dan garis bujur untuk 2402 tempat-tempat berdasarkan peta dunia. Buku ini mirip buku Ptolemy Geograpgy yang mencatat juga kota, gunung, lautan, pulau dan sungai. Manuskrip al-Khwarizmi lebih rinci untuk wilayah Islam, Afrika dan Timur Jauh. Untuk benua Eropa diambil dari data Ptolemy.
Selain itu al-Khwarizmi menulis topik-topik seperti penggunaan astrolabe (pengukur lintasan planet sebelum ditemukan sekstansextant) untuk mengetahui lintasan matahari dan kalender Yahudi.
Sumbangsih
Kiprah matematikawan Arab ini sungguh luar biasa. Pencetus istilah aljabar, memberi dasar dan tonggak dalam matematika. Semua itu membuat dia layak disebut dengan “bapak aljabar”, bukan Diophantus. Aljabar diajarkannya dengan bentuk-bentuk dasar, sedang Diophantus banyak berkutat dengan teori bilangan. Aljabar kemudian dipelajari dan menjadi milik dunia sampai saat ini. Menggabungkan artimatika dan aljabar. Keduanya penting sebagai sumber utama pengetahuan matematika selama berabad-abad baik di dunia Timur maupun di Barat.
Continue reading...
(Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other guidance we can have)
C. G. Darwin
Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
(780 – 850)
Riwayat
Di bawah pemerintahan tiga raja dinasti Abbasid – al Mansur, Harun al-Rashid dan al-Mamun, terjadi masa keemasan Irak. Istilah Arabian Nights tercetus pada masa Harun al-Rashid. Bahkan al-Mamun bermimpi dapat menghadirkan kembali pemikir kaliber Aristoteles di Bagdad.
Seperti yang sudah disebutkan pada pengantar, ada dua ilmuwan yang “bertugas” mengalihbahasakan karya-karya ilmiah di Graha Kebijaksanaan (The House of Wisdom), di mana salah satunya adalah al-Khwarizmi. Buku karyanya mampu yang mencetuskan kata aljabar dan membuatnya menjadi ilmu yang legendaris. Riwayat al-Khwarizmi tidaklah terlalu jelas diketahui orang. Tidak banyak catatan dan asal-usulnya yang diketahui oleh orang kebanyakan, tak terkecuali ahli sejarah.
Nama al-Khwarizmi memberi indikasi bahwa dia berasal dari Khwarizm, sebelah selatan laut Aral, Asia tengah. Ahli sejarah, al-Tabari memberi tambahan julukan “al-Qutrubbulli”, yang memberi indikasi bahwa al-Khwarizmi berasal dari Qutrubbull, yaitu daerah antara sungai Tigris dan sungai Eufrat yang letaknya tidak jauh dari Bagdad.
Karya besar al-Khwarizmi
Sudah dapat dipastikan bahwa Al-Khwarizmi bekerja pada saat berkuasanya al-Mamun dan dia mempersembahkan dua karyanya untuk Kalifah tersebut. Karya besar di bidang aljabar dan karya besar di bidang astronomi. Hisab al-jabr w’al-muqabala adalah karyanya di bidang aljabar yang sangat terkenal dan sangat penting. Judul karya itu menunjuk kata “aljabar” adalah istilah pertama yang kemudian akan dipakai sampai sekarang. Tujuan dan pesan yang ingin disampaikan oleh buku ini, seperti yang disebutkan dalam buku terjemahan Rosen, adalah mencari cara termudah dan paling bermanfaat dari aritmatika.
“Setiap hari orang berkutat dengan kasus-kasus yang menyangkut warisan, pembagian harta, kasus-kasus hukum, perdagangan, dan semua perjanjian yang terjadi antara pribadi misal: mengukur lahan, menggali sungai, menghitung luas bidang geometri tertentu dan bermacam-macam perhitungan lainnya.”
Kita semua jadi maklum bahwa isi teks aljabar ini dimaksudkan untuk kepentingan praktis dan aljabar diperkenalkan untuk menyelesaikan problem-problem yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dalam lingkup kerajaan Islam pada jaman itu. Pengantar buku ini memberi gambaran tentang bilangan-bilangan asli (natural number), dimana bagi mereka yang tidak fasih dengan sistem ini tampak menggelikan, namun inti penting yang ingin disampaikan adalah pemahaman baru tentang abstraksi seperti dinyatakan dalam kalimat di bawah ini.
Ketika orang mulai melakukan penghitungan mereka selalu menggunakan angka. Angka terdiri dari satuan-satuan, dan setiap angka dapat dibagi menjadi satuan-satuan. Setiap angka diekspresikan dengan satu sampai sepuluh, setelah sepuluh digandakan, dikalikan tiga sehingga terdapat dua puluh, tiga puluh dan seterusnya hingga seratus. Seratus digandakan, dikalikan tiga dengan cara yang sama sampai akhirnya sampai pada kesimpulan bahwa bilangan itu tak terbatas.
Aksioma
Karya Aljabar dari al-Khwarizmi diawali dengan pengertian prinsip-prinsip bilangan dan memberikan solusi. Terdiri dari enam bab yang terbagi menjadi enam tipe persamaan yang mencakup tiga jenis operasi: akar, kudrat dan bilangan (x, x² dan bilangan).
Semua solusi atau penyelesaian [penyederhanaan] suatu bentuk persamaan (linier atau kuadrat), terlebih dahulu harus dijadikan salah satu dari 6 bentuk baku seperti di bawah ini.
1. Kuadrat-kuadrat identik dengan akar-akar
2. Kuadrat-kuadrat identik dengan bilangan-bilangan
3. Akar-akar identik dengan bilangan-bilangan
4. Kuadrat-kuadrat dan akar-akan identik dengan bilangan-bilangan (misal: x² + 10x = 39)
5. Kuadrat-kuadrat dan bilangan-bilangan identik dengan akar-akar (misal: x² + 21 = 10x)
6. Akar-akar dan bilangan-bilangan identik dengan kuadrat-kuadrat (misal: 3x + 4 = x²).
Penyederhaan ini menggunakan dua operasi/cara yang disebut dengan al-jabr dan al-muqabala. Istilah “al-jabr” berarti “menyelesaikan” yaitu proses menghilangkan bentuk negatif/minus dari suatu persamaan. Salah satu contoh yang dikemukakan oleh al-Khwarizmi, “al-jabr” mengubah x² = 40x – 4x² menjadi 5x² = 40x. Istilah “al-muqabala” berarti “menyeimbangkan” yaitu proses mengelompokkan jenis/notasi yang sama, pangkat yang sama apabila terdapat pada ruas kanan maupun ruas kiri dalam suatu persamaan. Contoh, dua aplikasi al-muqabala adalah menyederhanakan 50 + 3x + x² = 29 + 10 x menjadi 21 + x² = 7x (aplikasi pertama terkait dengan bilangan-bilangan dan aplikasi kedua terkait dengan akar)
Aplikasi aksioma
Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menggunakan keenam persamaan di atas untuk menggabungkan solusi methode aljabar dan methode geometri. Sebagai contoh untuk memecahkan persamaan x² + 10x = 39, dia menuliskan prosedur:
… Suatu akar kuadrat ditambah 10 sama dengan 39 unit, yang dapat dijabarkan ke dalam bentuk persamaan: apa yang akan terjadi apabila suatu kuadrat ditambah 10 akan diperoleh 39?. Cara untuk mengurai persamaan ini digambil dari salah satu aksioma di atas. Sumber problem adalah angka 10. Ambil angka 5, dan kuadratkan diperoleh 25, ditambah dengan 39 diperoleh 64. Akar dari angka ini adalah 8, kurangilah dengan angka awal, 5, diperoleh sisa 3. Angka 3 adalah hasil akar, jika dikuadratkan diperoleh 9. Luas bujur sangkar adalah 9.
Pembuktian geometrik dapat dilakukan dengan cara di bawah ini. Al-Khwarizmi mulai dengan mengandaikan sisi bujur sangkar adalah x dan luas bujur sangkar adalah x² (gambar 1). Bujur sangkar itu kita tambah dengan 10x yang dilakukan dengan menambahkan secara sama terhadap keempat sisinya, dimana masing-masing 10/4 atau 5/2 dengan lebar x pada setiap sisinya (gambar 2). Bidang diarsir (Gambar 3) mempunyai luas x² + 10x, dimana sama dengan 39. Kita melengkapi agar bentuk bujur sangkar menjadi lengkap dengan 4 bujur sangkar kecil yang luasnya sama, masing-masing 5/2 × 5/2 = 25/4. Luas bujur sangkar (gambar 3) adalah 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. Panjang sisi bujur sangkar adalah akar 64 atau sama dengan 8. Apabila sisi bujur sangar adalah 8, dimana 5/2 + x + 5/2 atau x + 5 = 8, diperoleh x = 3.
Pembuktian geometrik di atas menjadi sumber polemik diantara para matematikawan. Tampaknya al-Khwarizmi memahami Element dari Euclid, karena secara tidak langsung penyelesaian itu mirip dengan yang termaktub dalam karya Euclid. Dalam masa pemerintahan Harun al-Rashid, ketika Khwarizmi masih muda, al-Hajjaj ditugaskan mengalihbahasakan Element Euclid ke dalam bahasa Arab. Al-Hajjaj tidak lain adalah rekan al-Khwarizmi di Graha Kebijaksanaan. Itu adalah pendapat bagi yang melihat bahwa karya al-Khwarizmi adalah penjabaran dari Euclid. Pendapat lain menyebut bahwa tidak ada difinisi, aksioma, postulat atau contoh-contoh seperti yang diuraikan oleh Euclid sehingga tidak dapat menggolongkan al-Khwarizmi sebagai pengikut Euclid. Pendukung pendapat kedua mengemukakan hukum aritmatika dengan obyek-obyek aljabar. Sebagai contoh, Khawarizmi menunjukkan bagaimana melakukan perkalian untuk ekspresi seperti:
(a + bx) (c+dx)
Meskipun tidak ada narasi untuk mengekspresikannya dan tidak ada simbol yang digunakan, tapi di sini tersirat konsep aljabar dengan akurasi tinggi: teori linier dan kuadratik dengan satu bilangan tidak diketahui. Dari sini aljabar dapat dipandang sebagai teori persamaan. Lebih lanjut al-Khwarizmi memberikan penerapan dan contoh seperti mencari luas bidang lingkaran, silinder, kerucut dan piramida.
Al-Khwarizmi juga menulis sistem bilangan Hindu-Arabik. Karya ini menggambarkan Hindu mempunyai sistem bilangan berbasis 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 dan 0. Pertama kali menggunakan angka nol dirintis olehnya.
Karya-karya lainnya
Karya al-Kwarizmi lainnya adalah dalam bidang astronomi. Topik utama yang disajikan dalam buku “Sindhind zij” adalah kalender; menghitung posisi matahari, bulan dan planet-planet; tabel sinus dan tangen; tabel astrologi; memprakirakan terjadinya gerhana. Karya lain adalah di bidang geologi yang memberi garis lintang dan garis bujur untuk 2402 tempat-tempat berdasarkan peta dunia. Buku ini mirip buku Ptolemy Geograpgy yang mencatat juga kota, gunung, lautan, pulau dan sungai. Manuskrip al-Khwarizmi lebih rinci untuk wilayah Islam, Afrika dan Timur Jauh. Untuk benua Eropa diambil dari data Ptolemy.
Selain itu al-Khwarizmi menulis topik-topik seperti penggunaan astrolabe (pengukur lintasan planet sebelum ditemukan sekstansextant) untuk mengetahui lintasan matahari dan kalender Yahudi.
Sumbangsih
Kiprah matematikawan Arab ini sungguh luar biasa. Pencetus istilah aljabar, memberi dasar dan tonggak dalam matematika. Semua itu membuat dia layak disebut dengan “bapak aljabar”, bukan Diophantus. Aljabar diajarkannya dengan bentuk-bentuk dasar, sedang Diophantus banyak berkutat dengan teori bilangan. Aljabar kemudian dipelajari dan menjadi milik dunia sampai saat ini. Menggabungkan artimatika dan aljabar. Keduanya penting sebagai sumber utama pengetahuan matematika selama berabad-abad baik di dunia Timur maupun di Barat.
Mengenalkan bilangan-bilangan Hindu ke Eropa. Kelak beberapa abad kemudian bangsa Arab akan melahirkan putra-putra terbaiknya sebagai matematikawan yang tidak kalah bersaing dengan rekan-rekannya yang berasal dari benua Eropa.
Sumber: http://mate-mati-kaku.com/matematikawan/al-Khiwarizmi.html
Pythagoras
“Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.
If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”
Pythagoras
Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga
Pythagoras
(580 - 475 SM)
Masa kecil
Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus.
Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes.
Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.
Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?
Angka adalah “dewa”
Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.
Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.
Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.
Pythagoras sebagai pemusik
Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika.
Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.
Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.
Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)
Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah.
Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.
Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.
Cacat pada doktrin Pythagorean
Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.
Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani.
Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.
Hippasus menyangkal
Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.
Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.
Meninggalnya Pythagoras
Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum.
Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.
*) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi
Sumbangsih
Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.
Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): x^n + y^n = z^n yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994.
If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”
Pythagoras
Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga
Pythagoras
(580 - 475 SM)
Masa kecil
Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus.
Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes.
Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.
Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?
Angka adalah “dewa”
Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.
Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.
Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.
Pythagoras sebagai pemusikPythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika.
Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.
Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal – dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto “Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.
Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)
Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah.
Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.
Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.
Cacat pada doktrin Pythagorean
Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.
Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani.
Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah.
Hippasus menyangkal
Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.
Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.
Meninggalnya Pythagoras
Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum.
Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.
*) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi
Sumbangsih
Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.
Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): x^n + y^n = z^n yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994.
Paradoks Zeno
“Tujuan kehidupan adalah hidup selaras dengan alam”
(“The goal of life is living in agreement with nature.”)
Zeno
Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks
Zeno
(490 – 435 SM)
Riwayat
Zeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus” dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.
Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.
Latar belakang
Parmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam.
Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak.
Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 – 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.
Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.
Matematikawan “hitam”
Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” dan matematikawan “putih.”
Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.
Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 – 1918).
Paradoks Zeno
Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.
1. Dikhotomi
Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.
2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura
Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.
Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.
3. Anak panah
Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.
4. Stadion
Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.
Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:
AAAA: urutan berhenti
BBBB: urutan bergerak ke kiri
CCCC: urutan bergerak ke kanan
Semuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.
Posisi I Posisi II
A A A A A A A A
B B B B B B B B
C C C C C C C C
Posisi I:
Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama.
Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?
Pemecahan modern
Semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?
Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).
Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.
Dua paradoks tambahan
Tidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.
5. Paradoks tentang tempat
Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.
6. Paradoks tentang bulir gandum
Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.
Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidup
Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.
Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.
Sumbangsih
Jasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zeno adalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.
Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang “membedah” suatu benda sampai tingkat atom.
(“The goal of life is living in agreement with nature.”)
Zeno
Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks
Zeno
(490 – 435 SM)
Riwayat
Zeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus” dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.
Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.
Latar belakang
Parmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam.
Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak.
Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 – 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.
Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.
Matematikawan “hitam”
Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” dan matematikawan “putih.”
Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.
Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 – 1918).
Paradoks Zeno
Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.
1. Dikhotomi
Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.
2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura
Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.
Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.
3. Anak panah
Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.
4. Stadion
Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.
Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:
AAAA: urutan berhenti
BBBB: urutan bergerak ke kiri
CCCC: urutan bergerak ke kanan
Semuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.
Posisi I Posisi II
A A A A A A A A
B B B B B B B B
C C C C C C C C
Posisi I:
Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama.
Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?
Pemecahan modern
Semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?
Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).
Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.
Dua paradoks tambahan
Tidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.
5. Paradoks tentang tempat
Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.
6. Paradoks tentang bulir gandum
Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.
Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidup
Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.
Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.
Sumbangsih
Jasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zeno adalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.
Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang “membedah” suatu benda sampai tingkat atom.
12 Oktober 2009
Math Activity 2 - Membuktikan (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2bc + 2ac
Ketemu lagi dengan Dara, masih dalam Belajar Sambil Bermain.
Setelah di bagian pertama kita telah membuktikan kalau (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, Sekarang kita akan menginjak (rumput kali ... ) ke identitas yang lebih kompleks (bukan komplek ... itu sih perumahan)
Benarkah:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2bc + 2ac?
Identitas di atas, lebih kompleks dari identitas yang pertama (semua orang juga udah tau kali ...) . Akan tetapi, dalam proses pembuktiannya tidaklah jauh berbeda, yaitu; dengan membuat ... perwakilan bidang datar dari a^2, b^2, c^2, 2ab, 2bc, 2ac, dan (a + b + c)^2. Alat dan bahan yang dibutuhkanpun sama, yaitu: Kertas, gunting, perekat, dan alat tulis (belum dibuangkan sisa kemarin ... ). Adapun pembuktiannya, dapat mengikuti langkah – langkah berikut: Misalkan a = 7 cm, b = 4 cm, dan c = 2 cm. (kalo yang ga punya penggaris pinjem dulu yah ...)
yang pertama:
Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 7 x 7 (a^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang kedua:Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 4 x 4 (b^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang ketiga:
Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 2 x 2 (c^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang keempat:
Untuk membuat perwakilan bidang dari 2ab, kita dapat membuatnya dengan pengertian bahwa, 2ab berarti ada 2 persegi panjang berukuran a x b. Buatlah dua buah persegi panjang dengan ukuran 7 x 4 (a x b) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang kelima:
Buatlah dua buah persegi panjang dengan ukuran 7 x 2 (a x c) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang keenam:
Buatlah dua buah persegi panjang dengan ukuran 4 x 2 (b x c) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang ketujuh:
Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 13 x 13 ((a + b + c)^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
yang kedelapan:
Setelah perwakilan dari bidang yang dibutuhkan telah dibuat, kumpulkan semua bidang tersebut, seperti pada gambar berikut:
yang kesembilan:
Baliklah kertas persegi berukuran 13 x 13, selanjutnya tempelkan semua persegi dan persegi panjang yang ada. Seperti pada gambar berikut:
yang kesepuluh:
Penempelan dilakukan seperti pada pembuktian identitas yang pertama, yaitu dengan mengisi semua sisi dari persegi berukuran 13 x 13. Hasil yang didapat tampak pada gambar berikut:
Apa kesimpulan yang didapat?
Terlihat bahwa semua persegi dan persegi panjang yang ada mengisi semua ruang yang ada pada persegi yang berwarna, sehingga:
Sehingga:
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2+ 2ab + 2bc + 2ac
Bagaimana menyenangkan bukan?
Sampai ketemu lagi dengan Dara, tunggu yah ....
Oh ya. Semua gambar milik Dara Collection, jadi kalo ada yang mau pake harus ijin. Dara ga ikhlas dunia akhirat kalo ga ijin.
Bersambung .....
11 Oktober 2009
Math Activity 1 - Membuktikan (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Pendahuluan
Kegiatan pembelajaran matematika dapat juga dilakukan dengan bereksperimen. Metode ini dirasakan perlu untuk menghindari kejenuhan di antara para siswa, sekaligus mengubah pandangan mereka; bahwa ada sisi lain dari pembelajaran matematika yang jarang dilakukan.
Matematika itu rumus, mungkin pernyataan itu ada benarnya. Hal ini dikarenakan, ketika kita bicara matematika (apalagi dalam pembahasan soal) akan timbul pertanyaan “Rumus apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal ini?” Di samping rumus, hal lain yang akrab dengan matematika adalah angka, teorema, dan simbol. Kesulitan yang dialami oleh sebagian siswa adalah: Bagaimana menghafal rumus yang tak kunjung habis? Kapan rumus itu digunakan? Dan apakah semua permasalahan (soal) harus diselesaikan dengan rumus? Dan mungkin masih banyak lagi pertanyaan – pertanyaan yang ada di benak para siswa kita.
Matematika memang tidak lepas dari teorema, persamaan, simbol, ataupun rumus. Hal ini tentu mempunyai tujuan tersendiri. Yaitu, diharapkan matematika mampu menyederhanakan ataupun memudahkan kita dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Permasalahan di sini tidak hanya sebatas soal – soal ulangan maupun soal ujian seleksi yang diadakan suatu lembaga. Lebih kompleks lagi, permasalahan yang akan/sudah ditemui dalam kehidupan sehari – hari. Secara tidak sadar, hampir setiap manusia memerlukan matematika dalam mengarungi kehidupan ini.
Persoalan yang timbul, adalah bagaimana menanamkan rumus – rumus tersebut agar mudah tertanam kepada siswa, khususnya rumus – rumus dasar. Ada beberapa metode yang dapat dilakukan untuk menanamkan rumus di benak siswa – siswa kita. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan mengetahui dari mana rumus itu diperoleh. Proses pencarian/pembuktian rumus tidak selamanya memusingkan, bahkan rumus yang seharusnya dapat disampaikan dengan menarik akan menjadi ribet, jlimet, ruwet dan akhirnya bikin mumet. Ini sangat mungkin terjadi jika guru menanamkan rumus, dengan tidak melihat kondisi siswanya, apakah anak – anak (SD), remaja menjelang dewasa (SMP dan SMA).
Untuk kalangan tertentu, pembelajaran hendaknya dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang menyenangkan. Ini akan berdampak psikologis yang baik bagi para siswa dalam memandang matematika. Persepsi akan matematika dapat berubah sedikit dengan sedikit.
Kegiatan pembelajaran matematika dapat juga dilakukan dengan bereksperimen. Metode ini dirasakan perlu untuk menghindari kejenuhan di antara para siswa, sekaligus mengubah pandangan mereka; bahwa ada sisi lain dari pembelajaran matematika yang jarang dilakukan.
Matematika itu rumus, mungkin pernyataan itu ada benarnya. Hal ini dikarenakan, ketika kita bicara matematika (apalagi dalam pembahasan soal) akan timbul pertanyaan “Rumus apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal ini?” Di samping rumus, hal lain yang akrab dengan matematika adalah angka, teorema, dan simbol. Kesulitan yang dialami oleh sebagian siswa adalah: Bagaimana menghafal rumus yang tak kunjung habis? Kapan rumus itu digunakan? Dan apakah semua permasalahan (soal) harus diselesaikan dengan rumus? Dan mungkin masih banyak lagi pertanyaan – pertanyaan yang ada di benak para siswa kita.
Matematika memang tidak lepas dari teorema, persamaan, simbol, ataupun rumus. Hal ini tentu mempunyai tujuan tersendiri. Yaitu, diharapkan matematika mampu menyederhanakan ataupun memudahkan kita dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Permasalahan di sini tidak hanya sebatas soal – soal ulangan maupun soal ujian seleksi yang diadakan suatu lembaga. Lebih kompleks lagi, permasalahan yang akan/sudah ditemui dalam kehidupan sehari – hari. Secara tidak sadar, hampir setiap manusia memerlukan matematika dalam mengarungi kehidupan ini.
Persoalan yang timbul, adalah bagaimana menanamkan rumus – rumus tersebut agar mudah tertanam kepada siswa, khususnya rumus – rumus dasar. Ada beberapa metode yang dapat dilakukan untuk menanamkan rumus di benak siswa – siswa kita. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan mengetahui dari mana rumus itu diperoleh. Proses pencarian/pembuktian rumus tidak selamanya memusingkan, bahkan rumus yang seharusnya dapat disampaikan dengan menarik akan menjadi ribet, jlimet, ruwet dan akhirnya bikin mumet. Ini sangat mungkin terjadi jika guru menanamkan rumus, dengan tidak melihat kondisi siswanya, apakah anak – anak (SD), remaja menjelang dewasa (SMP dan SMA).
Untuk kalangan tertentu, pembelajaran hendaknya dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang menyenangkan. Ini akan berdampak psikologis yang baik bagi para siswa dalam memandang matematika. Persepsi akan matematika dapat berubah sedikit dengan sedikit.
When I listen, I hear.
When I see, I remember.
But when I do, then I understand.
Berdasarkan hal tersebut, diharapkan guru dapat mengajak para siswanya, untuk mencoba membuktikan beberapa rumus ataupun identitas. Dengan menggunakan beberapa alat dan bahan yang sederhana, ternyata banyak yang dapat dilakukan untuk melakukan kegiatan pembelajaran. Berikut adalah salah satu identitas yang pembuktiannya dapat dilakukan secara bereksperimen.
Benarkah (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2?
Identitas di atas sangat sering digunakan, baik untuk tingkat SMP (pertama kali identitas ini diperkenalkan) hingga sampai perguruan tinggi. Mengingat hal tersebut, pemahaman lebih diutamakan dari pada menghafal. Dengan memahami, maka siswa akan dapat mencari dengan sendirinya identitas tersebut apabila mereka lupa. Ini berbeda dengan menghafal, di mana daya ingat para siswa tidaklah sama, dan akan berakibat fatal apabila siswa lupa, sehinga tidak tahu lagi apa yang harus diperbuat.
Sebagai pengajar di tingkat satuan MA/SMA, Dara sering mendapati (boleh dibilang sebagian besar) siswa yang mengatakan bahwa:
(a + b)^2 = a^2 + b^2
Ini tentu berawal dari pemahaman siswa yang kurang akan identitas tersebut. Identitas di atas dapat dibuktikan, dengan menggunakan alat dan bahan yang mudah kita peroleh dan tidak membutuhkan biaya mahal. Adapun alat dan bahan yang diperlukan, antara lain: Kertas, gunting, perekat, dan alat tulis.
Untuk membuktikan (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, kita akan membuat sebuah bidang datar yang merupakan perwakilan dari; a^2, b^2, ab, dan (a + b)^2. Agar nantinya kegiatan dapat berlangsung dengan mudah, buatlah pemisalan sebuah nilai untuk a dan b. Misalkan a = 5 cm dan b = 8 cm, dapat juga mengambil nilai yang lain disesuaikan dengan kondisi dan situasi.
Adapun pembuktiannya, dapat mengikuti langkah – langkah berikut:
- Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 5 x 5 (a^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
- Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 8 x 8 (b^2) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
- Selanjutnya akan dibuat bidang datar perwakilan dari 2ab.
2ab = ab + ab
sehingga kita membutuhkan bidang datar (baca persegi panjang) dengan ukuran a x b sebanyak 2 buah. Buatlah dua buah persegi panjang dengan ukuran 5 x 8 (ab) pada sebuah kertas, seperti pada gambar berikut:
- Karena a = 5 dan b = 8, maka a + b = 13. Buatlah sebuah persegi dengan ukuran 13 x 13 ((a + b)^2) pada sebuah kertas berwarna, seperti pada gambar berikut:
Sehingga kita telah memiliki semua bidang datar yang dibutuhkan.
- Baliklah kertas yang mewakili (a + b)^2, selanjutnya tempelkan semua persegi dan persegi panjang yang ada. Seperti pada gambar berikut:
Dengan menempelkan satu per satu persegi dan persegi panjang yang ada dengan cara; Penempelan menutupi semua tepi dari persegi (a + b)^2. Penempelan yang dilakukan secara keseluruhan akan tampak, seperti pada gambar berikut:
Apa kesimpulan yang didapat?
Terlihat bahwa semua persegi dan persegi panjang yang ada mengisi semua ruang yang ada pada persegi yang mewakili (a + b)^2.
Sehingga: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Bagaimana, menarik bukan?
Sampai ketemu lagi dengan Dara di bagian kedua ....
Oh ya. Semua gambar milik Dara Collection, jadi kalo ada yang mau pake harus ijin. Dara ga ikhlas dunia akhirat kalo ga ijin.
Bersambung .....
Langganan:
Postingan (Atom)
